父親名義の携帯の未納金請求が、私宛に届いたのですが・・・

　一般に、携帯電話会社では、契約者名義と支払者の2箇所を契約時に設定することが可能であり、実際の使用者が誰であるかについては関知しません。

　契約者名義とは、回線所有権利（全ての責任）を持つ人の名前や住所の事です。支払者とは、電話料金を支払う人の名前や請求書送付先住所です。
　契約者があなたのお父様であるのに、あなた宛に督促が届いた理由が明らかではありませんので、この点につき督促通知の発信者である弁護士事務所かあるいは携帯電話会社に問い合わせをされてはいかがでしょうか。
名義変更はお父様単独ではできず、旧名義人（お父様）と新名義人（あなた）の双方が来店あるいは自筆の委任状を提出し、運転免許証など双方の身分証明書を提示しなければできない事が普通であると思われます。
ですから、あなた宛に督促が届いたのは、名義変更がなされたからでは無く、支払者の変更がなされたからではないかと推測されます。

　支払者が未納金額の支払いを拒否した場合、最終的な支払い責任を負うのは契約者名義です。あなたが使用されていた携帯電話会社の規約を見てみないことには正確な事は申し上げられませんが、おそらく、契約者名義では無い支払者には、法的な支払義務までは認められないのではないかと思われます。又、あなたの承諾無く支払者の変更をなされた点でも、あなたには法的な支払義務は認められないと思われます。

　とはいえ、未納回線と同じ人物が契約者名義か支払者になっていれば、料金を支払っていても同一人物の回線が全て利用停止になる事が多い様です（これを、業界では「関連通停」と呼ぶそうです）。ですから、あなたには法律上の支払義務がなくとも、今後その携帯電話会社と新たに契約する予定があるのであれば、事実上、未納金額の支払いを強いられることになるでしょう。