外国人配偶者の連れ子は、その配偶者が死亡しても日本に居続けられますか？

　日本人と結婚した外国人は、「日本人の配偶者等」（入管法2条の2、別表第2）の在留資格で日本に入国、在留することができます。

　その外国人配偶者の、日本人配偶者との間に生まれたのではない子供（便宜的に以下「連れ子」といいます。）であっても、「定住者」（同法2条の2、別表第2）として在留が認められる場合があります。
　定住者として入国する場合の基準として定められている定住者の告示（平成2年5月24日法務省告示第132号）第6ニは、「日本人...の配偶者で日本人の配偶者...等の在留資格をもって在留するものの扶養を受けて生活するこれらの者の未成年で未婚の実子」を挙げています。
本件のように外国人配偶者が死亡してしまったような場合には、連れ子の父親が「日本人の配偶者等」で在留資格を更新できなくなることによって、連れ子も前記告示の要件に該当しないことになり、原則として「定住者」の在留資格の更新が困難になります。
もっとも、例外として救済される例として、すでに日本に在留している外国人については、前記告示の基準に当てはまらなくても、法務大臣が特別の理由を考慮して「定住者」の在留資格を与えることができます。 日本への定着度などを入管当局に十分に説明して、子供が定住者としての在留資格を与えられるよう申請する方法もあると思われます。

　また、あなたと連れ子との間で養子縁組をすることも考えられますが、普通養子の場合には縁組によって当然に在留資格を取得できるわけではありません（6歳未満の者を一定の要件のもとで養子とする特別養子の場合には「日本人の配偶者等」の在留資格が与えられます）。
在留資格の取得については、様々な要素を考慮して決定されるため、まずはお近くの入国管理局や、国籍関係業務の経験が豊かな弁護士に相談されることをお勧め致します。