子供が怪我をさせてしまった。

法的な責任をはっきりさせずに、好意として支払うのはご自由ですが、相手の要求がエスカレートするなどして、法的な義務があるか、ということを考えるのならば、
・賠償の義務があるか
・あるとすれば、どれだけ払う義務があるか
ということに分けて考える必要があります。

小学２年生といった子供は一般に賠償責任がないとされていて、この場合親である貴方に「子供の監督不十分」という過失があれば、賠償責任があることになります。公園で付き添っていたのであれば、お子さんが危険な遊びをすれば注意したり止めさせたりできたわけですから、全く責任なし、ということにはなりにくいかもしれません。

ただ、必ずしも一方的に貴方のお子さんが悪いとは限らないわけで、例えば指のけがということで、キャッチボールでもしていて受け損なった、ということでもあれば、受け損ねた相手のお子さんと責任は五分五分、ということもあり得ます。

一方、もし賠償義務があるなら、払うべき医療費は基本的には「直るまで全部」です。しかし、普通は何年も医者に通い続ける、ということはあり得なくて、長くても半年程度治療を行えば、直るか、これ以上直しようがない、という後遺症が残るか、どちらかになります。そうなれば、医療費は終わりで、残った後遺症に応じた賠償を払う、ということになります。（ある程度の相場があります。）

もし相手の要求が多額になるなら、弁護士に相談しても良いかもしれません。

また、貴方の住宅か自動車の保険に「個人賠償保険」がくっついていませんか？ついていれば、保険で対応できる可能性があります。