エステでケガをした場合の賠償・慰謝料について

貴方の火傷がそのエステの器具のせいで起こった、ということに争いがないのであれば、そのことによる損害を賠償してもらう権利がある、ということになります。

エステというのは病気や怪我の治療と違って、貴方の側が「エステをやってほしい」という申し込みをして、それを受けて施術をした、というのは明らかなので、書面がないからと言って、両者の間に契約がない、という主張をされる心配はあまりないのではないかと思います。（施術をしたこと自体を否定するような言い逃れをするなら論外ですが…）

その場合、
・やけどの治療費
はまあ当然、

・やけどの治療のための通院費用(交通費)
は実際に払った実費で、かつ合理的な範囲で（歩いていけるのにわざわざタクシーを使ったような場合は別）

・やけどを負った時のエステの施術料
もおそらく、まともな施術をする、という契約を果たさなかった、ということでその分は返せ、ということでしょう。

・やけどのためにやむを得ず衣装やプログラムの変更をした場合、それにかかる手数料等
これは、「相当因果関係」という言い方をしますが、貴方の負った火傷が、社会常識に照らして、そんな火傷があるなら痛くて、あるいはみっともなくて予約していたドレスは着られない、という状態であって、ドレスを変更したことによって具体的に費用が発生しているならば、請求権あり、ということになると思いますが、これは事実関係の問題なので、貴方のお話だけから判断することはできません。

2.上記以外に、慰謝料を請求することはできますか？

慰謝料についても、少なくとも、怪我をさせられて痛い思いをした、ということについては、法的には慰謝料の対象になりますが、入院したわけでも、仕事を休んだわけでもないとなると、上のような実損に加えての、純粋な慰謝料は、それほどの額にはならないと思います。
それ以外の、花嫁のうんぬんという部分は、精神的に傷付いた、というのは、所詮は不愉快な思いをした、ということで、世の中に不愉快な思いをさせられることは残念ながらゴマンとありますので、そのことに対する慰謝料は、あったとしてもごくわずか、ということでないかと思います。