パチンコ店で遊戯中ハンドルで怪我をしました。

　治療費や通院のための交通費は請求できます。これは慰謝料とは別物です。
　慰謝料は、身体損害の場合、だいたい相場が決まっているようです。通院は１回ですか？そして、全治8日間の指先の傷ですよね？正確な数字は分かりませんが、多くても1万円を超えることはないと思いますよ。全く認められない可能性もあります。

　どうしてもお金を請求したい場合、治療費や交通費、通院慰謝料などを根拠に基づいて算出して、相手に示して下さい。
　お店は責任を認めているのかそうでないのか、はっきりしない態度ですが、妥当な金額を提示して、「応じないならば法的措置を採る」くらいは言ってもよいかもしれません。

　それでも相手が拒否した場合、拒否する相手に強制的に支払わせるには、裁判という方法しかありません。しかし、勝てると決まっているわけではないですし、勝ったとしても今回は1万円や2万円の世界ではないでしょうか。
　そうなると、結局、裁判までやらずに示談できるかが勝負だと思います。

　あなたはパチンコ店の注意不足によって怪我をされたといえるので、民法上、損害賠償請求ができるでしょう。
　
　問題は、損害がいくらかということです。全治８日間の怪我をして、あなたにいくらの損害が出ましたか。
　あなたは1日5000円の慰謝料が相当だと思っていらっしゃるようですが、残念ながらお店側はそうは思っていないようです。謝罪で十分だと思っているようです。
　このようにお互いの主張が対立している場合、話し合うか、裁判をするか、諦めるかの３択です。
　
　相手や裁判所を説得するには、それなりの根拠が必要です。　
　治療費や休業損害は、証明書があれば、相手も認めざるを得ないでしょう。これらは全額でないにしても比較的容易に認められます。
　
　しかし、慰謝料はどうでしょうか。1日5000円というのはどこから出てきた数字ですか？「指先が切れて、心が傷ついたから1日5000円ちょうだい」と言われたら、あなたは払いますか？
　相手を説得するのはなかなか難しいですし、全治8日間の指先の怪我で慰謝料は裁判所もきっと認めないでしょう。全治8日間の怪我で慰謝料が認められるとしたら、例えば、怪我のせいで、一生懸命練習してきたピアノのコンクールに出られず、ショックを受けたとかそういう特別の事情が必要だと思います。

　まとめると、慰謝料なしで何万円もの損害が出ているならば、諦めないで交渉した方がよいと思いますが、そうでないなら今回のことは事故だったと思って諦めた方がよいのではないでしょうか。あんまりしつこくやると、恐喝の疑いをかけられます。
　お店のサービスは悪かったと思いますが、それとお金を取れるかとは別問題なのです。