父の死後の扱いについて

事情は分かりました。

お母様とお父様は離婚してしまえば関係はなくなりますが、貴方方とお父様は、親子であることに変わりはありませんから、お互いに扶養する義務はどこまで行っても残ります。その代わり、財産を相続する権利もあるわけです。（親権は関係ありません。）

いわゆるお葬式を行う義務、というものは誰にもありませんので、もしお父様が亡くなられた場合、貴方方さえそれでよければ、最低限火葬場でお骨にして、市町村の無縁仏の墓地のような所へ入れてもらえばそれでかまいません。

貴方方がそれも断って誰もやらない場合、身寄りのない方、いわゆる孤独死の場合と同じように、死亡した場所の市町村がそれをやることになります。

その費用については、「行旅病人及行旅死亡人取扱法」という法律（行旅死亡人＝いわゆる「行き倒れ」）があって、次のように規定されています。

第十一条 　行旅死亡人取扱ノ費用ハ先ツ其ノ遺留ノ金銭若ハ有価証券ヲ以テ之ニ充テ仍足ラサルトキハ相続人ノ負担トシ相続人ヨリ弁償ヲ得サルトキハ死亡人ノ扶養義務者ノ負担トス

つまり、故人が残したお金だけでは足りないときは、相続人であり、扶養義務者である貴方方が負担する義務がある、ということだと思います。
（義務はない、としている掲示板の回答例がありますが、小生は上記の規定から、義務はあると考えます。）

ただ、ご親戚の方にも、「貴方方に葬式を出させる権利」というものはありませんので、裁判うんぬんというのは気にしなくてよいと思います。（逆に、お父様が存命の間は、扶養する義務はあります。）

なお、貴方方はお父様の財産を相続する権利はありますが、もしお父様に借金があれば、借金も相続されてしまいますので、お父様にさしたる財産もないようなら、お父様が亡くなられたら、「相続放棄」の手続きをする必要があります。

申し訳ありませんが意味が分かりません。

>父の余命が少なく、死後は私に面倒を見ろとの内容でした。私がそれを拒否すると、～

「誰の」面倒を見よということですか？

その「父方の親戚」の面倒を見よ、という意味ですか？（具体的にどのような関係の親戚ですか？子供やお年寄りなど、誰かが面倒を見なければならない方なのですか？）

それとも、お父様の面倒を見る、具体的にはお葬式を出したりお墓を建てたりせよ、という意味ですか？（普通亡くなられた方の面倒を見る、とは言わないでしょう。）

みんなそれが分からないのでお答えのしようがないのだと思いますよ。