注文書をもらっていれば法的に有利ですか？

結論から言うと、契約が成立していれば法的に支払ってもらうことは可能です。

そして、契約が成立するためには、書面は必要ありません。
口頭の約束のみで契約は有効に成立しています。

ただし、仮に争いになった場合に、口頭のみでは「言った」「言わない」の水掛け論になってしまいますので、契約が成立したことを証明するための証拠として、契約書なるものが有益になるのです。

すると、本件の場合、（詳細な事実関係がわからないので確実にはいえませんが、）おそらく契約は成立していたと思われます。
そして、注文書の記載内容にもよりますが、一般的なものであれば、おそらく、他のメールや陳述書等の証拠を用意すれば、契約の成立を証明するに足りるだけの証明力はあるかと思います（厳密には注文書のみでは足りないですがなんとかなるのではという意味です）。

ですから、きちんとした契約書がない以上は、相手方とやりとりしたメール等もすべてきちんと保管しておく必要があるでしょう。

日本の会社は契約書を軽視する傾向が多いのですが、やはり簡易なものでもいいので、契約書はきちんと作るという習慣を身につけた方が長い目でみてもリスクもコストも軽減するかと思います。