相続権についてご教示下さい

>この場合　既に社会保険事務所へは　受給者死亡届を提出済みですが、特に支障は無いものでしょうか？

ご心配であれば社会保険事務所に問い合わせていただけばよいことですが（いかに評判の悪い社会保険事務所といえども、普通に問い合わせて損になることはないでしょう。）、

支障になる、とは、誰にとっての支障でしょうか？

未成年のお子さんがいるようだと、お子さんと愛人との間で、遺族年金の取り合いになりますが、亡くなられた方の収入で生活していた子や孫がいなければ、その愛人さんが遺族年金をもらおうともらうまいと、その他の相続人の方々は何も変わりませんよね？

であれば、放っておけばよいのではないでしょうか？

>内縁関係はどの様に規定されれば内縁関係といえるのでしょうか？

法律では次のように規定されています。（これは国民年金ですが、厚生年金の方も概ね同様の規定があります。）
（国民年金法第５条）
８ 　この法律において、「配偶者」、「夫」及び「妻」には、婚姻の届出をしていないが、事実上婚姻関係と同様の事情にある者を含むものとする。

そして、この解釈について、社会保険庁（評判悪いですが）の通達では、以下のようになっています。

内縁関係とは　　婚姻の届出を欠くが　社会通念上　夫婦としての共同生活と認められる事実関係をいう　次の要件を備えることを要するものであること

(1)当事者間に　社会通念上　夫婦の共同生活と認められる事実関係を成立させようとする合意があること

(2)事者間に　社会通念上　夫婦の共同生活と認められる事実関係が存在すること

つまり、本人達にその気があって、実体上も共同生活（＝共同の家計）を営んでいた、ということが要件のようです。

それでは、具体的にどうなっていれば上記の状態と認められるか、ということになれば、人の生活の様子など千差万別ですから、個別のケースごとに、市町村又は社会保険事務所の判断ということになります。

ただ、その請求は、内縁の妻と主張する方が、自分で役所に対して申請することになりますので、お子さん方相続人が関わってくることはないように思います。

>この場合の　相続人とそれぞれの相続の割合は如何様になりましょうか？


お話し以外の事情がなければ、相続人は２人と３人のお子さん計５人で、相続割合も１／５づつ均等になります。養子に行ったとか、誰と暮らしていたといった事情は基本的には関係ありません。

>この半同棲していた相手方に対しての相続権や遺族年金申請の権利は発生するのでしょうか？

その人と半同棲していた、というのは、後妻さんではなく被相続人（＝男性）ですよね？
もしその方との関係が客観的に見て内縁関係にあった、と言えるほどであれば、相続権はありませんが、遺族年金はもらえる可能性があります。