未成年者が受け取った遺産を親権者が運用

親権の中の財産管理権は、「子の財産を管理する権限」ですから、初めから「子の財産」というものがあることが前提になっています。「子の財産を親のものとして管理する権限」ではありません。ですから、

Ｑ１．運用し始めた段階でそのお金は誰のもの？

というのは、子のもの、以外あり得ません。

これを貴方の名義にしてしまうと、もし何らかの事情で貴方が債務を負ってしまうと、その財産についても差押えはまぬがれなくなってしまいます。（これは本当は子の物だ、というのは通用しません。）

子には何の利益もなくリスクだけを負わせる行為ですので、許されないものと考えます。

なお、財産の管理は、自分の物と同じだけの注意を払って行わなければならない、という規定がありますから、例えば自分の金であれば到底行わないような投機的な運用をする、ようなことは許されません。

親の名義にすることはないわけですから、Ｑ３も議論の必要はありません。

Ｑ２．運用で得たお金は誰の所得になるのでしょうか？

子の物の運用益ですから子の所得ですが、下記のように、財産の収益については養育費と相殺したものとみなす、という規定がありますから、収益については養育費に当ててよいことになります。

ただし、収益と相殺、ですから、元本に手を付けるのは許されないことになります。

（民法）
（財産の管理及び代表）
第八百二十四条 　親権を行う者は、子の財産を管理し、かつ、その財産に関する法律行為についてその子を代表する。ただし、その子の行為を目的とする債務を生ずべき場合には、本人の同意を得なければならない。

（財産の管理における注意義務）
第八百二十七条 　親権を行う者は、自己のためにするのと同一の注意をもって、その管理権を行わなければならない。

（財産の管理の計算）
第八百二十八条 　子が成年に達したときは、親権を行った者は、遅滞なくその管理の計算をしなければならない。ただし、その子の養育及び財産の管理の費用は、その子の財産の収益と相殺したものとみなす。