アルバイト中に不注意で……

fdsa様の御回答には重要な点が不足していると思いますので僭越ではありますが、回答させて頂きます。

使用者から従業員に対する処分・賠償請求は、その従業員の犯した過失の程度によって判断すべきであり、過失発生に至るまでの管理（従業員への教育訓練等を含む）等が使用者側の責任であることを考慮すると、単純に損害の全額を賠償請求することはできないというのが一般的な考え方です。
神奈川県横浜労働センターが公開している「労働問題対処ノウハウ集」(55)にも以下の記載があります。
http://www.pref.kanagawa.jp/osirase/06/1480/consult/nouhau/pdf/nouhau55.pdf
【引用開始】労働者が労働を遂行する過程で通常発生する事が予測されるミス（軽微な過失）の場合は「損害の公平な分担」という信義則上の基本理念から、損害賠償責任を認めることは難しいと言えます。この「損害の公平な分担」は、労働者の業務遂行は会社が決定しており、そこから発生することが通常予想されるリスクは、会社が負担することが公平であるという基本理念です。【引用終了】

修理費全額が請求されるべきケースとしては、故意や重大な過失で使用者に損害を与えたと断定できる場合に限られると考えます。（例えば、故障の原因となりうる操作を教育等により厳重に禁止しており、また、防止措置を講じてあったにも関らず、質問者様が故意に防止措置を解除して禁止された操作を行なった、等のケースです）

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ご指摘のように過失があっても，故意で壊したわけではありませんから，刑事上の罪は成立しません。しかし，過失によりお店のレジを壊したことで，お店に修理費用という損害が発生するようにお見受けしますから，不法行為責任による損害賠償責任を負わなければならない場合がありそうです。なお，お店に何らかの過失があれば，これを考慮して過失相殺が認められることがあります。

修理費用を支払うことなくあなたが退職された場合であっても，店側が一方的に賃金債権とあなたに対する損害賠償債権とを相殺することは認められません。賃金は，全額労働者に支払わなければならないからです。この場合において，お店は，あなたあるいは親に修理費用を請求することができますが，実際に請求するかどうかはお店次第となりそうです。